Micron Document
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<title>Konchoide</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Konchoide</span></h1>
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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Konchoide</b> (die „Muschelähnliche“, über <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a></span> <span lang="la-Latn" style="font-style:italic">concha</span> von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a></span> <span lang="grc-Grek" class="Grek" style="font-style:normal">κόγχη</span> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937631">
/* start https://de.wikipedia.org/ */


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/* end https://de.wikipedia.org/ */
</style><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">konche</span> bzw. <span lang="grc-Grek" class="Grek">κόγχος</span> <span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">konchos</span> „Muschel“) ist eine spezielle ebene Kurve. Sie beschreibt die Bewegung eines Punktes, der&nbsp;– von einem festen Punkt (<i>Pol</i>) aus gesehen&nbsp;– zu einer gegebenen Kurve konstanten Abstand einhält.<sup id="cite_ref-duden_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-duden-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Walz_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Walz-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigentliche_Konchoide">Eigentliche Konchoide</h2></div>
<p>Sie war schon im <a href="Antike" title="Antike">antiken</a> Griechenland bekannt und wird nach <a href="Nikomedes_(Mathematiker)" title="Nikomedes (Mathematiker)">Nikomedes</a> als <i>Konchoide von Nikomedes</i> bezeichnet.<sup id="cite_ref-Walz_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-Walz-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Ein anderer Name ist <i>Muschelkurve</i>.<sup id="cite_ref-duden_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-duden-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Der Name leitet sich daher ab, dass der <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Graph</a> den zwei Schalen einer Muschel ähnelt.
</p>

<ul><li><a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">Kartesische Koordinaten</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})-b^{2}x^{2}\,=\,0}">
<semantics>
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<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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<mi>x</mi>
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<mi>a</mi>
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<mn>2</mn>
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<mi>x</mi>
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<mi>y</mi>
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<mn>2</mn>
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<mo>−<!-- − --></mo>
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<msup>
<mi>x</mi>
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<mn>2</mn>
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</msup>
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<mo>=</mo>
<mspace width="thinmathspace"></mspace>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})-b^{2}x^{2}\,=\,0}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7089de06d1954371bdc03c258620c19b3437e4cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.823ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})-b^{2}x^{2}\,=\,0}" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-Walz_2-2" class="reference"><a href="#cite_note-Walz-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>
<li><a href="Polarkoordinaten" title="Polarkoordinaten">Polarkoordinaten</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r={\frac {a}{\cos \varphi }}\pm b}">
<semantics>
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</mfrac>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a}{\cos \varphi }}\pm b}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d4246efdadeb7c93d2189b1b94ac9611201f082.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.84ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a}{\cos \varphi }}\pm b}" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-Walz_2-3" class="reference"><a href="#cite_note-Walz-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>
<li><a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(\varphi )=a+b\cos \varphi ;\qquad y(\varphi )=a\tan \varphi +b\sin \varphi }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
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<mo>+</mo>
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<mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
<mi>φ<!-- φ --></mi>
<mo>;</mo>
<mspace width="2em"></mspace>
<mi>y</mi>
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<mo>=</mo>
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<mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
<mi>φ<!-- φ --></mi>
<mo>+</mo>
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<mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
<mi>φ<!-- φ --></mi>
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</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(\varphi )=a+b\cos \varphi ;\qquad y(\varphi )=a\tan \varphi +b\sin \varphi }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c132c2daf4d60d771bee696a09ed10f7a3f751b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.365ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(\varphi )=a+b\cos \varphi ;\qquad y(\varphi )=a\tan \varphi +b\sin \varphi }" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-Walz_2-4" class="reference"><a href="#cite_note-Walz-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h3></div>

<p>Die Punkte der Konchoide des Nikomedes sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft: Gegeben seien eine Gerade g („Leitgerade“), ein Punkt A, der von g den Abstand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">
<semantics>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> hat (mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">
<semantics>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"></span>), und eine reelle Zahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">
<semantics>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> (mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>0}">
<semantics>
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<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>0}" loading="lazy"></span>). Dann liegen für einen beliebigen Punkt B der Geraden g die beiden Punkte P und P', die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
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</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> haben, auf der Konchoide.<sup id="cite_ref-Walz_2-5" class="reference"><a href="#cite_note-Walz-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p><p>Die Fälle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\leq a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\leq a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d38bff9a811bdd9b92516d9c2694712555b99952.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.326ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b\leq a}" loading="lazy"></span> sind ein Typ der Kurven, die mit dem Trivialnamen <i><a href="Hundekurve" title="Hundekurve">Hundekurve</a></i> bezeichnet werden, insbesondere für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b2e4888d97a754d4bfa4da297b226788a73c6b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=a}" loading="lazy"></span> ähnelt der eine Ast der <i><a href="Traktrix" title="Traktrix">eigentlichen Traktrix</a></i>.
</p><p>Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die <a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinatenachsen</a> so liegen wie in der Skizze, also der Pol im <a href="Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Ursprung</a> liegt.
</p><p>Die Konchoide des Nikomedes ist <a href="Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">achsensymmetrisch</a> bezüglich der x-Achse. Im Allgemeinen liegen drei Kurvenpunkte auf der Symmetrieachse, nämlich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b|0)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mn>0</mn>
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</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b|0)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74e0e1d3423fd231371591531fa6d1b29b9cd8f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.686ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+b|0)}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a-b|0)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>a</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>b</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mn>0</mn>
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</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a-b|0)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79d24ce4fcc1532ffb6fcf060362eefe63531750.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.686ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a-b|0)}" loading="lazy"></span> und der Ursprung.
</p>
<ul><li>Für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b<a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
<mo>&lt;</mo>
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b&lt;a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec536027666ac731c00e6db3a3b0b10d7ebbe031.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b<a}" loading="lazy"></span> ist der Ursprung ein <a href="Isolierter_Punkt" title="Isolierter Punkt">isolierter Punkt</a>.</li>
<li>Für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\geq a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
<mo>≥<!-- ≥ --></mo>
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\geq a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2db6581643a6d21f1efd54d284cfcc99b850531.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.326ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b\geq a}" loading="lazy"></span> fallen zwei der drei Punkte im Ursprung zusammen, für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
<mo>&gt;</mo>
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b&gt;a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b1cfc86ca957eea4f09d683db2412a173f6f404.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>a}" loading="lazy"></span> ist der Ursprung ein <i><a href="Doppelpunkt_(Mathematik)" title="Doppelpunkt (Mathematik)">Doppelpunkt</a></i> der Kurve, wird also zweimal durchlaufen, der Graph hat eine Schleife.
<ul><li>Die beiden <a href="Tangente" title="Tangente">Tangenten</a> im Ursprung haben die Gleichungen<br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{a}}x}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<msqrt>
<msup>
<mi>b</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</msqrt>
<mi>a</mi>
</mfrac>
</mrow>
<mi>x</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{a}}x}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ab658ec52f0573341d2ef4e9d4957742f4143a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.92ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle y={\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{a}}x}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=-{\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{a}}x}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<msqrt>
<msup>
<mi>b</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</msqrt>
<mi>a</mi>
</mfrac>
</mrow>
<mi>x</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=-{\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{a}}x}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b449b1d6e93671ac18990abeb227985ed6539a04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.728ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle y=-{\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{a}}x}" loading="lazy"></span>.</li>
<li>Für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b2e4888d97a754d4bfa4da297b226788a73c6b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=a}" loading="lazy"></span> fallen beide Tangenten mit der x-Achse zusammen. Der Ursprung ist also eine <i>eigentliche Spitze</i></li></ul></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gewöhnliche_Konchoide"><span id="Gew.C3.B6hnliche_Konchoide"></span>Gewöhnliche Konchoide</h2></div>
<p>Der Begriff der Konchoide lässt sich verallgemeinern:
</p><p>Gegeben seien eine Kurve k (<i>Leitkurve</i>), ein Punkt A (<i>Pol</i>) und eine positive reelle Zahl b. Zu jedem beliebigen Punkt B, der auf der Kurve k liegt, betrachtet man nun die beiden Punkte, die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung b haben. Die Menge aller dieser Punkte bezeichnet man als die <i>Konchoide der Leitkurve</i>.<sup id="cite_ref-dh_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-dh-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p><p>Die einfachste Darstellung benutzt Polarkoordinaten: Liegt A im Ursprung, und sei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=f(\varphi )}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>φ<!-- φ --></mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=f(\varphi )}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1397623a080f6420e9139b6e94023736e5349770.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.755ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=f(\varphi )}" loading="lazy"></span>, dann lautet die Gleichung der gewöhnlichen Konchoide:<sup id="cite_ref-dh_3-2" class="reference"><a href="#cite_note-dh-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=f(\varphi )\pm b}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>φ<!-- φ --></mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>±<!-- ± --></mo>
<mi>b</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=f(\varphi )\pm b}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2136f2b693e61340ba2a0693254f88941b40d47a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.593ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=f(\varphi )\pm b}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften_2">Eigenschaften</h3></div>
<p>Alle gewöhnlichen Konchoiden sind <a href="Zissoide" title="Zissoide">Zissoiden</a>, wobei die eine Kurve ein Kreis im Ursprung ist.
</p><p>Eine <a href="Pascalsche_Schnecke" title="Pascalsche Schnecke">Pascalsche Schnecke</a> ist eine Konchoide, wobei die gegebene Kurve ein Kreis ist.<sup id="cite_ref-dh_3-3" class="reference"><a href="#cite_note-dh-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Konchoide">Allgemeine Konchoide</h2></div>
<p>Erweitert man die Bildungsregel, indem man den Abstand b nicht entlang der Geraden AB aufträgt, sondern entlang einer Geraden, die im Punkt B einen konstanten Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>α<!-- α --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> zu AB hat, erhält man die <i>allgemeine Konchoide</i>. Im Falle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =0}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>α<!-- α --></mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =0}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cc00f65bbc630448311dd2dc82e7ce5e90985a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =0}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\pi }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>α<!-- α --></mi>
<mo>=</mo>
<mi>π<!-- π --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\pi }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56d4c38f1082fe503a8a69193cc3cd91466c656e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.918ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\pi }" loading="lazy"></span> ergibt sich die gewöhnliche Konchoide, anderenfalls spricht man von einer <i>schiefen Konchoide</i>.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konchoidenverzahnung_in_der_Getriebetechnik">Konchoidenverzahnung in der Getriebetechnik</h2></div>
<p>In der <a href="Getriebe" title="Getriebe">Getriebetechnik</a> ist die sogenannte Konchoidenverzahnung eine von mehreren Techniken zur <a href="Verzahnung" title="Verzahnung">Verzahnung</a> von <a href="Zahnrad" title="Zahnrad">Zahnrädern</a> und <a href="Zahnstange" title="Zahnstange">Zahnstangen</a>.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>
<ul><li>Die sogenannte <a href="Konchoide_von_de_Sluze" title="Konchoide von de Sluze">Konchoide von de Sluze</a> ist tatsächlich eine spezielle <a href="Zissoide" title="Zissoide">Zissoide</a>.</li>
<li>Die sogenannte <a href="Konchoide_von_D%C3%BCrer" title="Konchoide von Dürer">Konchoide von Dürer</a> ist eine allgemeinere Konstruktion.</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>
<ul><li><a href="D%C3%B6rte_Haftendorn" title="Dörte Haftendorn">Dörte Haftendorn</a>: <i>Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen</i>. Springer, 2016, ISBN 978-3-658-14749-5, S. 38–50</li>
<li><a href="Gino_Loria" title="Gino Loria">Gino Loria</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABR0252"><i>Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven</i></a>, deutsch von F. Schütte, Leipzig: B.G. Teubner, 1902.</li>
<li><a href="Heinrich_Wieleitner" title="Heinrich Wieleitner">Heinrich Wieleitner</a>: <i>Spezielle ebene Kurven</i>. G. J. Göschen, Leipzig 1908 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/spezielleebeneku00wielrich">Digitalisat</a> im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>)</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>
<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Conchoid?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Conchoid</a></span></b>&nbsp;– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>
<ul><li><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">
/* start https://de.wikipedia.org/ */


.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}


/* end https://de.wikipedia.org/ */
</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070703095815/http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/expo/jonatur/wissen/mathe/kurven/konchoid.htm">Johanneum Lüneburg <i>Hundekurve oder Konchoide des Nikomedes</i></a> (<span class="webarchiv-memento"><a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a></span> vom 3. Juli 2007 im <i><a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a></i>)</li>
<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/ConchoidofNicomedes.html"><i>Conchoid of Nicomedes</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li>
<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathcurve.com/courbes2d.gb/conchoiddenicomede/conchoiddenicomede.shtml">conchoid</a> auf mathcurves.com</li>
<li>Hans Walser: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Konchoide/Konchoide.htm">Konchoide</a></li>
<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.geogebra.org/m/mwgwsede">Konchoide mit Kegelschnitten</a> – interaktive Illustration</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>
<ol class="references">
<li id="cite_note-duden-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-duden_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-duden_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><i>Konchoide</i> In: <i>Schülerduden&nbsp;– Mathematik&nbsp;II</i>. Bibliographisches Institut &amp; F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S.&nbsp;211–212</span>
</li>
<li id="cite_note-Walz-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Walz_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Walz_2-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Walz_2-2">c</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Walz_2-3">d</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Walz_2-4">e</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Walz_2-5">f</a></sup></span> <span class="reference-text">Guido Walz (Hrsg.): <i>Lexikon der Mathematik&nbsp;– Band&nbsp;3</i>. Springer/Spektrum, 2.&nbsp;Auflage 2017, S.&nbsp;159–160 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/konchoide-des-nikomedes/5406">Digitalisat</a>)</span>
</li>
<li id="cite_note-dh-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-dh_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-dh_3-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-dh_3-2">c</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-dh_3-3">d</a></sup></span> <span class="reference-text"><a href="D%C3%B6rte_Haftendorn" title="Dörte Haftendorn">Dörte Haftendorn</a>: <i>Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen</i>. Springer, 2016, ISBN 978-3-658-14749-5, S.&nbsp;38–50</span>
</li>
</ol></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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</div>
</div><!--/htdig_noindex--></div>
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</main>
</div>
</div>
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